jufo – Mathematik/Informatik
Sonja Goj:
Über eine spezielle Klasse rekursiv definierter Doppelfolgen
Betreuungslehrer: Hülsbusch
Bundessieg Mathematik (erstes Mädchen als Bundessiegerin Mathematik seit Bestehen des Wettbewerbs)
Abstract
Über eine spezielle Klasse rekursiv definierter Doppelfolgen
Name: Sonja Goj – Gebiet: jufo Mathematik/Informatik – Betreuungslehrer: Hülsbusch
In meiner Arbeit Über eine spezielle Klasse rekursiv definierter Doppelfolgen untersuche ich alle Möglichkeiten, die sich ergeben, wenn man eine Intervallschachtelung in den reellen Zahlen durch fortlaufende Mittelung der zuletzt bestimmten Intervallgrenzen rekursiv definiert. Ich beziehe mich dabei auf das arithmetische [(a+b)/2], das geometrische [Wurzel aus ab] und das harmonische Mittel [2ab/(a+b)] und erhalte insgesamt 21 verschiedene Intervallschachtelungen.
Bei diesen habe ich hergeleitet, welche Funktionen sich als innere Zahlen in Abhängigkeit von den ersten Intervallgrenzen ergeben. Im einzelnen bin ich dabei auf algebraische Funktionen, die Arcus-Funktionen, die Area-Funktionen und den Logarithmus und auf elliptische Integrale gestoßen.
Diese Fälle waren in der Literatur schon dokumentiert, aber noch nie im Zusammenhang der 21 von mir betrachteten Fälle dargestellt worden. Außerdem war für vier der 21 Intervallschachtelungen in der Literatur nichts zu finden. Für diese Fälle ist mir eine Anbindung an die Jacobischen Thetafunktionen gelungen, die - soweit mir bekannt ist - in der Literatur noch nicht dokumentiert war.
Die Theatafunktionen gehören in den Bereich der elliptischen Funktionen, auf die man bei der Umkehrung der elliptischen Integrale gestoßen ist. Es handelt sich um doppelt-periodische Funktionen in der komplexen Zahlenebene. Diese Funktionen wurden 1829 von Carl Gustav Jacob Jacobi in seinem Buch Fundamenta nova theoriae funktionum ellipticarum herausgestellt.
Im Laufe der zweijährigen Forschungsarbeit hatte ich Gelegenheit, Einblicke in verschiedenste mathematische Teilbereiche zu gewinnen, die über den Schulstoff hinausgingen. Spaßgemacht hat mir dabei vor allem die wissenschaftliche Literaturarbeit und Literatursuche.
Als ich in der 11. Klasse war, wurde ich von meinem Beratungslehrer, Herrn Norbert Hülsbusch, auf das Thema aufmerksam gemacht. Er stand mir auch während der zwei Jahre, in denen ich mich damit auseinandersetzte, immer mit Rat und Tat zur Seite.
Am Anfang habe ich nicht damit gerechnet, daß die Beschäftigung mit Mittelwerten so kompliziert werden würde, aber es gab während der Forschungsarbeit immer wieder Durststrecken, d.h. Phasen, in denen ich nicht weiterarbeiten konnte, weil mir einfach die fachlichen Voraussetzungen fehlten. Dies trifft z.B. auf das Kapitel über die elliptischen Integrale zu, ganz besonders aber auch auf das letzte Kapitel über die Jacobischen Thetafunktionen.
Was dieses Kapitel angeht, so war es auch mit sehr viel Glück verbunden, daß es mir hier nach einer Phase des «Herumprobierens» gelungen ist, Verbindungen aufzuzeigen, die bisher in der Literatur noch nicht bekannt waren. Ich denke aber, daßgerade hier auch noch Möglichkeiten zur weiteren Forschung bestehen, doch mir fehlen momentan leider noch die nötigen Kenntnisse in komplexer Funktionentheorie.
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