jufo – Mathematik/Informatik
Jochen Werth, Klaus Willée:
Eine bemerkenswerte Hyperbel durch den Fermatpunkt eines Dreiecks
Betreuungslehrer: Hülsbusch
Bundessieg Mathematik
Abstract
Eine bemerkenswerte Hyperbel durch den Fermatpunkt eines Dreiecks
Jochen Werth, Klaus Willée – Mathematik/Informatik, Betreuungslehrer: Hülsbusch
Von dem französischen Juristen, Parlamentsrat und Mathematiker Pierre Fermat (1601 - 1665) stammt folgendes Problem: |
Die Lösung des Problems ist in der Literatur als der sogenannte Fermatpunkt des Dreiecks bekannt, den man dadurch findet, dass man über den Dreiecksseiten nach außen gleichseitige Dreiecke errichtet und deren dritte Eckpunkte mit den ihnen gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks geradlinig verbindet. Die drei entstehenden Geraden schneiden sich in dem besagten Fermatpunkt, von dem aus die Seiten des Dreiecks alle unter einem Winkel von 120° erscheinen.
Wie wir in unserer Arbeit zeigen, entsteht der gemeinsame Schnittpunkt der entsprechenden Geraden, nicht nur bei gleichseitigen, sondern bei beliebigen, zueinander ähnlichen, gleichschenkligen Dreiecken, die jeweils nach außen oder auch nach innen über den Seiten des Ausgangsdreiecks errichtet werden. Alle diese Schnittpunkte verlaufen - so wurde von uns entdeckt - auf einer gleichseitigen Hyperbel, auf der sich nicht nur der Fermatpunkt, sondern auch die Eckpunkte des Dreiecks, sein Schwerpunkt und sein Höhenschnittpunkt befinden. Überdies liegt das Zentrum der Hyperbel auf dem Feuerbachkreis des Dreiecks.
Daher erscheint uns diese Hyperbel in der Tat bemerkenswert, wie es auch der Titel unserer Arbeit besagt.
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